العمليات الثنائية

[آفاق]

بسم الله الرحمن الرحيم
من المفاهيم الرياضية مفهوم (العملية الثنائية) وبالرغم من سهولتها إلا أن الطلبة يجدون صعوبة في  فهمها والإقتناع بها وكذلك المعلم
فالعملية الثنائية تعني رياضيا (العملية الثنائية على المجموعة س  هي تطبيق مجاله الجداء الديكارتي س×س ومجاله المقابل س يربط في كل زوج مرتب من عناصر المجموعة س بعنصر وحيد فيها)
فكيف نبداهذا الدرس ....نستطيع أن نبدأ بالأسئلة والمناقشة التالية
س1- عرف التطبيق؟ ومامكوناته ؟ عرف المدى ؟    هذه معلومات من درس سابق مر عى الطالب
حيث أن التطبيق هو علاقة من المجموعة س الى المجموعة ص يقترن فيها كل عنصر من س بعنصر واحد فقط من ص     حيث س يسمى المجال ص المجال المقابل

س2- ما هي الاعداد الطبيعية ؟ اجد ناتج جمع أي عدديد طبيعين ؟ وهل الناتج عدد طبيعي أم لا؟
طبعا ألأعداد الطبيعية هي  ط=( 1 ، 2، 3 ،.............) وحاصل جمع اي عددين طبيعيين عدد طبيعي
مثلا  2 +3 =5  عدد طبيعي        يمكن كتابة النتيجة بالزوج المرتب    (2 ،3 ) =5
    7 + 9 = 16 عدد طبيعي                                           (7 ، 9 ) = 16
    23 + 8 = 31 عدد طبيعي                                          (23 ، 8 ) = 31
   وهكذا........
س3- ماذا يمكنك القول على عملية الجمع على مجموعة الاعداد الطبيعية ؟
نستطيع ان نقول أنها تطبيق مجاله ألأزواج المرتبة السابقة- وهي تعتبر مجموعة جزئية من الجداء الديكارتي ط×ط  -  ومجاله المقابل ط
والعملية التي  تحقق الشروط السابقة على اي مجموعة تسمى (عملية ثنائية)
اي ان عملية الجمع عملية ثنائية على مجموعة الاعداد الطبيعية
(ثم نبدأ في تكوين التعريف مع الطالبات - حيث أننا لا نذكر التعريف في بداية الدرس وإنما بالإستنتاج السابق)

والآن ما رأيكم  في عملية الطرح على ط هل تمثل عملية ثنائية ؟ ولماذا؟
لناخذ عددين طبيعيين ونطرحهم وننظر للناتج هل طبيعي ام لا
مثلا  5- 8 = -3 لا ينتمي إلى ط    إذن عملية الطرح ليست ثنائية على  ط
 
س4- هل الطرح عملية ثنائية على ص = {......-2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، ........ } ؟
  مثلا 7-3 = 4  عدد صحيح ظن  6-8 =-2 عدد صحيح  
الطرح عملية ثنائية على مجموعة الاعداد الصحيحة

- يجب ان نعلم العملية على مجموعة س هي رابط يربط زوج مرتب من عناصر س بعنصر وحيد يمكن ان يكون موجودا في س او غير موجود فيها ، في حالة وجوده في س تكون العملية ثنائية
-
-إذا رمزنا بـ * لأي عملية ثنايئة على المجموعة س فإننا نقول أن العملية المجموعة س مغلقة بالنسبة للعملية *

- أن العملية الثنائية قد تكون عملية جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة أو تطبيق معرف بقاعدة أوبتحديد صورة كل زوج على حدة  
       '>

[الخالد]

بسم الله الرحمن الرحيم

الأستاذة / آفاق
شكراً على هذا العرض المتميز والمفيد  ، وأتمنى أن تكمليه وصولاً لموضوع الزمر، وبعد إذن استاذتنا الفاضلة أود إضافة:

في حالة المجموعات المنتهية يمكن تمثيل العملية بجدول يمكن من خلاله توضيح هل العملية ثنائية (مغلقة ) أو لأ ؟

مثال:


لتكن :
س ={ أ ، ب ، جـ ، د }
عرفنا على المجموعة  س العملية  * المبينة بالجدول التالي:



حيث : أ*ب = د      ( تقاطع  أ   أفقياً  مع   ب  عمودياً )

من الجدول : * عملية ثنائية ( مغلقة ) لأنه يمكن ملاحظة أن كل عنصر من العناصر الموجودة داخل الجدول  ينتمي للمجموعة  س




شكراً للجميع

[math4ever]

أهلا .....أخواني
 تحية من القلب أهديها للعضو آفاق والمشرف المتميز الخالد .....
والله أشكركم على المعلومات التي طرحتموها فأنا في اشد الحاجة الإطلاع على هذا الموضوع وكل ما يتعلق به ........وأتمنى الاستمرار في هذا الموضوع
***************************************
ولدي تساؤل بسيط فقط ؟؟
ما هي (في رايكم ) أفضل وسيلةيمكن استخدامها  لشرح درس العملية الثنائية ؟؟
وهل لها تطبيقات في الحياة العملية ؟؟
أخوكم :math4ever

[الخالد]

أهلاً أخي / math4ever

من المهم أن يفهم  الطالب معنى العملية كتمهيد مهم قبل االدخول في  مفهوم العملية الثنائية .

ففي سبيل تعزيز مفهوف العملية في ذهن الطالب ، اقترح أن تطرح على الطالب مسائل بسيطة تتعلق بالعمليات الحسابية الأربع ( + ، - ، × ، ÷ ) ، ثم تعطيه مثال خاص مثلاً بجمع الساعات والدقائق  ، مثل :

4.32+ 5.28 = 10   ( اربع ساعات و32 دقيقة مع خمس ساعات مع 28 دقيقة  يساوي عشر ساعات )

هذا المثال يبن للطالب أن هناك عمليات أخرى غير التي يعتقد وجودها فقط ، وأن هذه العمليات توجد حسب تعريف معين يمكن أن يتغير .

إذا استوعب الطالب الفكرة ( عن طريق ذكره لعمليات أخرى مثل جمع الأيام والشهور) ، تستغل الفرصة لذكر عمليات من تعريفك مثل :

س*ص =  س+ص +2

حيث  : *  العملية المعرفة   ،  + عملية الجمع المعروفة

الآن تطلب إيجات الناتج التالي:

4*6  = 4+6+2 = 12  

الآن وقد استوعب الطالب معنى العملية وأنها مجرد حالة تعتمد على تعريف ، يمكنك الآن الدخول في شرح مفهوم العملية الثنائية ، كما جاء في درس الأستاذة/آفاق

بخصوص الوسائل المقترحة :
يمكن عمل لوحة عبارة عن جدول مشابه للجدول السابق وبمجموعة عددية تعرف عليها عملية ، ثم تطلب من الطالب تكملة الجدول اعتماداً على العملية المعرفة ، ومن ثم استنتاج أن العملية ثنائية أو غير ذلك .



مع شكري للجميع
أخوكم / خالد

[آفاق]

شكرا للجميع على آرائكم و إقتراحاتكم
الأخ /math 4 evr
بالنسبة لأفضل وسيلة هي عملية جمع الساعات كما ذكر المشرف الخالد فلكي يكون درسك حيوي ومثير تستطيع تعمل مجسم لساعة بالفلين مع جعل عقاربها تتحرك فهي وسيلة سهلة الصنع تنجزها بنفسكم ويمكنك أن تسأل الطلبة أسالة من حياتهم مثلا
 (إذا أعطاك الطبيب دواء يأخذ كل 8 ساعات، وأخذته الساعة السادسة ففي أى ساعة تأخذة المرة الثانية )
 وفي هذه الأثناء تثبت الساعة على رقم 6 ثم تحرك عقارب الساعة ثمانية أرقام فتصبح الساعة الثانية
وتستنج قاعدة جمع الساعات

المشرف/الخالد
شكرا على الإضافة لإفادة الجميع
بالنسبة لإكمال الموضوع إلى درس الزمر أتمنى لذلك ولكن أجد بعض الصعوبات منها لاأعرف كيف أستخدم الرموز الرياضية  ولا كيف أكون الجداول  او أرسم مثلا مخططات سهمية في الموقع فقط استطيع ذلك في الورد لذلك أكتفيت بالمقدمة فقط في العمليات الثناية
كما أنني لست على خبرة كافية بأسرار الإنترنت
ولكن سوف احاول التكملة في الحدود الممكنة والمتاحة لدي

إقتراح
-هل بإمكان المنتدى أن يجعل إيقوانات خاصة بالرموز الرياضية وصنع الجداول فإذا حدث هذا سوف تحدث إنتقالة خطيرة في هذا المنتدى واعتقد ان الجميع سيسعد يذلك

[الخالد]

السلام عليكم...
شكراً استاذة / آفاق ، على هذه الروح ، وصدقيني أن مجهودك هذا محل تقدير الجميع وأنا أولهم .

أما بخصوص الجداول ووسائل الإضاح فلك أن تستخدمين ما هو متاح .
 وبخصوص الاقترح ، سأنقلة بدوري للمسؤلين في المنتدى ، وإن شاء الله يكون عندهم الحل المفيد.

تحياتي لك
أخوك / خالد

[رائد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا  للاستاذ  خالد وافاق
توضيح العملية الثنائية  
ويستحسن بعد توضيح المعنى  ان يعرف الطلاب ان العملية الثنائية حالة خاصة من التطبيق
والتطبيق حالة خاصة من العلاقة الثنائية  ويمكن من هذا الدخول الى معنى العملية الثنائية
 ومن ثم الزمرة والحلقة والحقل  
ايها الاخوة لماذا لانقدم  شرح لمواضيع كل موضوع  يتصل بما قبله
لنصل من خلال ذلك ألى نتائج جديدة
نعلم ان الرياضيات مادة مترابطة لماذا لانظهر ذلك

[math4ever]

تحية عطرة .........لكل من الأخت العزيزة آفاق والأخ العزيز الخالد
معلومات جميلة وتوضيحات واقتراحات أجمل .......شكرا لكما وفقكما الله لما فيه ال
الخير للجميع
اتمنى الاستمرار وزوال جميع المعوقات .......يارب
تحياتي الخالصة للجميع : ماث فور إيفر

[math4ever]

أتمنى من أخوتي .......آفاق والخالد السير في الموضوع قدما .....وإذا في
إمكانية أتمنى التطرق إلى المواضيع التالية :
 النظام الرياضي ذو العمليتين : الحلقة والحقل
حقل الأعداد الحقيقية
مطلق العدد الحقيقي
صحيح العدد الحقيقي
بنفس طريقة الشرح التي تناولتوا فيها درس العملية الثنائية ......وفقكم الله لما فيه الفائدة والمنفعة للجميع ........تحياتي الحارة لكم : math4ever

[الخالد]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته..

الحقيقة يا أخ / math4ever  أنا كنت أتمنى أن الأستاذة / آفاق أن تكمل ما بدأته ولكن يبدو أن هناك ضروف خاصة لأستاذتنا تمنعها من التكملة ،إن شاء الله تكون خير ، على كل حال لازلنا ننتظر الكثير من الأستاذة /آفاق

بخصوص رد الأخ/رائد
اولاً : اشكر اضافتك أخي العزيز ، وهي بدون شك في محلها .
ثانيا : كل مايطرح ليس منزه من الخطأ أو النقصان ، لذلك أطلب منك أخي .. ومن جميع المهتمين التفاعل وإبداء الرأي دائماً.


تكملة للموضوع:

بعد استيعاب مفهوم العملية الثنائية ، يتم تعريف أنماط خاصة من العمليت الثنائية:

 تعاريف : لتكن  * عملية مغلقة على المجموعة س

1) تسمى العملية  * تجميعية ( قابلة للدمج ) إذا تحقق الشرط:
لكل  أ ، ب ، جـ ينتمي لـ  س : أ*(ب*جـ)=(أ*ب)*جـ



2) تسمى * عملية إبدالية ، إذا كان :
لكل  أ ، ب ينتمي لـ س فإن : أ*ب = ب*أ
(العملية الإبدالية تسمى أحياناً (آبلية ) نسبة إلى العالم الترويجي آبل Apel



3) ليكن : م ينتمي لـ س  ، يسمى م  عنصر محايد  إذا كان:
لكل أ ينتمي لـ س فإن :  م*أ = أ*م



4) إذا كان  أ ، د  ينتمي لـ س  فإن :  د يسمى معكوس لـ أ
إذا كان :  أ*د = د*أ = م       ( يكتب المعكوس أحياناً بالعنصر نفسه أس سالب واحد )



طبعأ سيتخلل هذه التعريفات نظريات ونتائج يفترض التحضير جيداً لإثباتها ، وترك فرصة للطالب المساهمة في الحل لتعويده على البرهان  ، من هذه النظريات إثبات أن العنصر المحايد هو وحيد ، ويكون البرهان بافتراض وجود عنصرين محايدين ، والوصول في النهاية أن المحايد الأول ما هو إلا المحايد الثاني.

لتوضيع التعريفيين  ( 1 ) ، ( 2 ) يجب ضرب الكثير من الأمثلة على عمليات ثنائية تجميعية وإبدالية مثل الجمع والضرب العاديتين .
كذلك يمكن التوضيح بأمثلة بسيطة إن القسمة العادية ليست تجميعية ولا إبدالية.

أيضا وبخصوص العمليات الثنائية المعرفة على المجموعات المنتهية والتي يمكن تمثيلها بجدول ( مثل الجدول السابق ) تستطيع استنتاج انطباق التعريفات السابقة عليها أو لأ.

قبل إكمال الموضوع أود أن أركز على أهمية ثقة الطالب في معلومات المعلم ، ويمكن اكتساب هذه الثقة بالإطلاع والقراءة في مراجع عدة وعدم الاعتماد على الكتاب المدرسي فقط  .

شكراً للجميع

[الخالد]

الزمرة Group

تعريف : لتكن  س  مجموعة معرف عليها  العملية  الثنائية  * ،
يقال أن  النظام  ( س ، * )  زمرة إذا توفرت الشروط التالية :

1) * تجميعية  على س
2) س  تحوي عصر محايد
2) لكل عنصر في  س يوجد له نظير ( معكوس )


مثال : مجموعة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع العادي ( +,Z )
كذلك : ( +,Q )  و ( +,R)  و   ( +,C)  حيث :
ََQ  مجموعة الأعداد النسبية ( القياسية ) و R مجموعة الأعداد الحقيقية  و  C مجموعة الأعداد المركبة.
( +,N ) ليست زمرة لعدم وجود المحايد الجمعي وبالتالي عدم وجود النظير.


يجب ضرب الكثير من الأمثلة لزمر ومنها مجموعات منتهية وغير منتهية ، مع التنويع باستخدام عمليات ثنائية مختلفة .

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تعريف : لتكن   ص  مجموعة معرف عليها عمليتين ثنائيتين  *  ،  #  

نقول أن  * توزيعية من اليمين على العملية # إذا كان :
لكل  أ ، ب ، جـ  ينتمي لـ    ص  فإن  :   أ *(ب#جـ) = (أ*ب)#(أ*جـ)

ونقول أن * توزيعية من اليسار على # إذا كان:
لكل  أ ، ب ، جـ  ينتمي لـ   ص  فإن  :  (ب#جـ)*أ  = (ب*أ)#(جـ*أ)

إذا كانت * توزيعية على # من اليسار واليمين  فإننا نقول اختصاراً  أن * توزيعية على #.


ما سبق يعتبر مقدمة مختصرة جداً  للدخول في  : مواضيع الحلقات والحقول


شكراً للجميع

[رائد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته الاخ الخالد شكرا جزيلا على اضافاتك الرائعة
واضيف على ماذكرت بان شبة الزمرة هي ان النظام (*,خ) يحقق * عملية ثنائية وتجميعية
عاى خ
والزمرة هي التي تتوفر فيها الشروط التي ذكرتها وتسمى زمرة ابدالية اذا حققت شرط
الابدال اي   خ+ع= ع+خ  
ورتبة الزمرة هي عدد عناصرها فمثلا
ِخ=ُْْ{1،2،3}   رتبتها تساوي 3
ورتبة العنصر خ هو اصغر عدد طبيعي م بحيث يكون  خ اس م يساوي العنصر المحايد
مثلا س= {0،1،2،3ْ} و(س،+) رتبة 2  نحصل عليها عن طريق
2=2
2+2=0  
اذا رتبة 2 هي 2
ورتبة 3 هي
3=3
3+3= 2
3+3+3=1
3+3+3+3=0
رتبة 3 هي 4
ملاحظة عملية الجمع هذه المقصود بها  اذا جمعنا العددين والناتج كان اقل من 4 نضعه
اما اذا كان ناتج الجمع اكبر من 4 او يساويها نقسمه على 4 ونضع الناتج يساوي باقي
قسمة مجموعهما على 4
ملاحظة اخيرة اعذروني  انا خايب في الايضاح

[الخالد]

بارك الله فيك أخي / رائد

اشكرك جزيل الشكر

وإذا يهمك رأيي ( عشرة على عشرة )

[رائد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للاخ الخالد
تتمة للموضوع
الحلقة : نقول عن نظام (×،+،خ) انه حلق اذا توفرت الشروط التالية
1- (+،خ) زمرة ابدالية
2- (×،خ) شبة زمرة
3- عملية الضرب تتوزع على عملية الجمع
ونقول (×،+،خ) حقل
اذا تحققت الشروط التالية
1- (+،خ) زمرة ابدالية
2- (×،ع) زمرة ابدالية حيث ع= خ محذوف منها الصفر
3- عملية الضرب تتوزع على عملية الجمع
نستطيع ان نقول كل حقل حلقة
مميز الحلقة : لتكن (×،+،خ) حلقة نقول ان ك مميز الحلقة وهو اصغر عدد طبيعي
اذا ضربناه بكل عنصر من عناصر خ ماعدا الصفر يكون الناتج صفر
مثلا
(+،×،خ) حيث خ=ْْْ{0،1،2،3ْ}
مميز الحلقة خ هو 4
لان 4×1=4×2=4×3=صفر
ودمتم
كنت اتمنى ان نتحدث عن الزمرة الجزئية والزمرة الجزئية الناظمية والزمرة الدائرية
وزمرة القسمة كلها مواضيع مترابطة
لكن البركة بالاخ الخالد يكمل النقص
ودمتم

[آفاق]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أشكر جميع أخواني الذين أضافوا هذه المعلمومات القيمة على موضوع العمليات الثنائية فلم اتوقع في خلال هذه اليومين التي غبتها ان أجد هذا الكم الهائل من الردود
وأود ان اضيف

- هناك مجموعات لها علاقة بالزمر وهي ( المجموعات ص ن حيث ن ينتمي الى ط )
 مثلا ص4={0، 1 ،2، 3 } ، ص7 = { 0 ، 1، 2، 3 ،4 ، 5 ، 6 } اي تبدأ من الصفر إلى العدد الذي قبل العدد ن
   ص*4={ 1، 2، 3 }   ص*7={1، 2 ،3 ،4 ،5، 6 }
نستطيع أن نعرف عليها عملياتن شهيرتان وهي جمع داخل دائرة  وهي الطريقة التي ذكرها الأخ رائد  ،و ضرب داخل دائرة تعني نضرب العددين ونقسم ناتج الضرب على ن والباقي هو الجواب المطلوب حيث ن هنا تساوي 4 أو 6
مثلا  3×3 = 9   و 9 ÷ 4 = 2 والباقي 1  إذن 3 ضرب داخل دائرة 3 =1 وهكذا

- على فكرة انا افضل كتابة بعض الوضوعات الصغيرةالمترابطة  لأني اعتقد أن بعض العملومات الغالبية تعرفها وتفهمها ويأتي شيئ بداخلها يحتاج إلى شرح وتعليل وهذا ما احاول الكتابة فيه
وشكرا للجميع